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河北事业单位数量关系:均值不等式在极值问题中的应用
时间:2020-07-26 10:14:07|来源:中公事业单位考试题库

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:均值不等式在极值问题中的应用。

在我们公务员行测考试中,经常会有一类题目会让大家求最大值或者最小值这种极限的情况,对于有些同学来说可能会觉得这类题目比较让人头疼,今天就让我们一起来探讨一下均值不等式在我们这类极值问题中的应用,帮助大家更好的备考。

一、理论讲解

定理1:若 a、b是实数,则a2+b2≥2ab ,等号当且仅当 a=b 的时候取得。

推论1:若 a、b均是非负实数,则:a+b≥2,等号当且仅当a=b时候取得。

二、方法应用

1、和一定,当且仅当两数相等时积有最大值。

2、积一定,当且仅当两数相等时和有最小值。

三、例题展示

例1.直角三角形两条直角边的和等于10厘米,则三角形的面积最大是多少平方厘米?

A.10 B.12.5 C.20 D.25

【答案】B。解析:由题可知,设三角形两条直角边的长度分别为a、b,根据已知条件可得a+b=10,求三角形面积的最大值,三角形面积=ab,根据均值不等式的结论:和一定,积有最大值,当且仅当a=b时取得。由题知a与b的和是定值10,当a=b=5时,ab最大值为25,则三角形的面积最大值为12.5。选B选项。

例2.某市有一个长方形广场,面积为1600平方米。那么,这个广场的周长至少有:

A.160 B.200 C.240 D.320

【答案】A。解析:由题可知,设长方形广场的长和宽分别是a、b。根据已知条件可得:ab=1600,求周长的最小值,长方形的周长=2(a+b),根据均值不等式的结论:积一定,和有最小值,当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值1600,当a=b=40时,a+b最小值为80,则长方形的面积最小值为160。选A选项。

例3.建造一个容积为16立方米,深为4米的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米100元,那么该水池的最低造价是多少元?

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

【答案】D。解析:由题可知,水池的底面积为16÷4=4平方米,设水池的长和宽分别为a和b,则水池池底和池壁的总造价y=4×160+4×a×2×100+4×b×2×100=640+800×(a+b),要使水池造价最低,则a+b的值要尽可能小,根据均值不等式的结论:积一定,和有最小值,当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值4,当a=b=2时,a+b最小值为4,则水池最低造价为3840元。选D选项。

通过上述三道题目,相信同学们已经掌握了均值不等式的应用方法,所以在考试当中遇到此类题目时,还是建议广大考生能够熟练应用这种方法。

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